Semiklassische (mikrolokale) Analysis ist das Studium von partiellen Differentialgleichungen im Phasenraum. Sie erlaubt die Beschreibung der Quantenmechanik auf der Basis der Begriffe der klassischen Mechanik, insbesondere im semiklassischen Limes, d.h. wenn das Plancksche Wirkungsquantum h klein gegenüber auftretenden Wirkungen ist (Kurzwellenasymptotik).

Differentialoperatoren werden bestimmte Funktionen im Phasenraum zugeordnet, sogenannte (Weyl-)Symbole. Durch (Weyl-)Quantisierung werden umgekehrt einer größeren Klasse von Symbolen sogenannte Pseudodifferentialoperatoren zugeordnet. Dieser Zusammenhang bildet die Basis für die Approximation quantenmechanischer Objekte durch die klassische Mechanik, insbesondere der zeitlichen Entwicklung von Lösungen, Approximation von Eigenfunktionen sowie Asymptotik von Eigenwerten.

Inhalte/Gliederung:

• Einführung: Die "alte" Quantentheorie nach Bohr und Sommerfeld
• Kurzer Überblick: Quantenmechanik
• Symbolkalkül: Fourier Transformation, Weyl-Quantisierung, Pseudodifferentialoperatoren, (Weyl-)Symbole, asymptotische Entwicklungen, Moyal-Produkt
• semiklassische Zeitentwicklung für Observablen (evt. auch für Wellenpakete): Egorov Therorem (evt. auch Ehrenfest-Zeit)
• Methode der stationären Phase
• WKB-Methode: semiklassische Wellenfunktionen/Quasimoden, EBK-Quantisierung integrabler Systeme
• semiklassischer Zeitentwicklungskern (Van-Vleck-Propagator)
• Gutzwillersche Spurformel
• Anwendungen in der Physik