Das Grundproblem der Algebraischen Topologie besteht darin, zwei vorgelegte topologische Räume zu unterscheiden, wenn diese nicht "homöomorph" (d. h. topologisch äquivalent) oder wenigstens nicht "homotopie-äquivalent" (d. h. ineinander deformierbar) sind, sagen wir z. B. die 2-dimensionale Sphäre S² und der 2-dimensionale Torus T². Dazu ordnet man in der Algebraischen Topologie einem topologischen Raum üblicherweise ein algebraisches Objekt zu, z. B. eine abelsche Gruppe; und zwar so, dass homöomorphen Räumen isomorphe algebraische Objekte zugewiesen werden. Im Mittelpunkt dieser Vorlesung werden die so genannten "Homologiegruppen" stehen, die in präziser Weise messen, wieviele "Löcher" ein Raum hat. Z. B. stellt sich für die 1. Homologie H₁ heraus, dass H₁(S²)=0 ist, während H₁(T²)=Z² ist. (Der Torus hat "2 eindimensionale Löcher"!) Damit folgt, dass S² und T² topologisch verschieden sind.

Die Vorlesung ist im Wesentlichen algebraisch angelegt. Bevor man solche Anwendungen wie oben beschrieben machen kann, werden zunächst in rein algebraischer Manier die Themen "Kategorien und Funktoren", "Kettenkomplexe" und "Homologische Algebra" behandelt. Erst dann wird die algebraische Theorie auf den so genannten "singulären Kettenkomplex eines topologischen Raumes" angewendet und z. B. die Homologiegruppen der Sphären bestimmt. Als Anwendungen ergeben sich z. B. der berühmte Jordansche Kurvensatz oder auch der Brouwersche Fixpunktsatz.

Die Vorlesung setzt eine gewisse Vertrautheit mit der mengentheoretischen Topologie voraus, wie sie z. B. in den ersten drei Wochen meiner Vorlesung "Differentialgeometrie I" gegeben wurde. Wer mehr an der mengentheoretischen Toplogie und ihrem Ausbau interessiert ist, dem empfehle ich die Kursvorlesung "Topologie" von Herrn Felgner. Mit dieser Vorlesung dürfte es kaum eine Überlappung geben.