Termine:

Aktuelles:

1. Hier können die Ergebnisse der Vorlesungsumfrage eingesehen werden.


2. Folgende Tage sind als Prüfungstage in der kommenden vorlesungsfreien Zeit vorgesehen:
   22.2., 13.-14.3., 6.-7.4.
   Bei der Prüfungsanmeldung kann man sich den Zeitraum (Februartermin, Märztermin, Apriltermin) frei wählen; der genaue Tag und die Uhrzeit wird dann so festgelegt, daß die Prüfungstage sinnvoll angefüllt sind. Sollten in einem Zeitraum mehr Prüfungen benötigt werden als Zeitslots zur Verfügung stehen, werde ich zusätzliche Prüfungstage dort einrichten. Wie die Anmeldung erfolgen kann und ab wann sie möglich sein wird, wird rechtzeitig bekannt gegeben.


3. Die Übungen beginnen in der ersten Vorlesungswoche mit einer Präsenzübung im Computerraum D2A38. Dabei sollen erste Schritte bei der Nutzung des Computeralgebrasystems Singular gezeigt werden. Dieses kann für das Rechnen von Beispielen sehr hilfreich sein. Mögliche Zeiten für diese Übung sind:
   • Mo, 17.10., 18-20 Uhr
   • Di, 18.10., 17-19 Uhr
   • Mi, 19.10., 08-10 Uhr
   Wir legen in der ersten Vorlesung fest, welche Termine zustande kommen.
4. Wer an den Übungen teilnehmen möchte, kann seine Daten bereits im Anmeldesystem
   https://urm.math.uni-tuebingen.de
   eintragen.

Aufgaben:

Literatur:

	Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley.
	Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, CUP.
	Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra.
	David Eisenbud, Commutative Algebra with a View towards Algebraic Geometry, Springer.
	Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer.
	Winfried Bruns, Zahlentheorie, Osnabrücker Schriften zur Mathematik.

Inhalt:

Eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffs des Vektorraumes über einem Körper ist der des Moduls über einem (kommutativen) Ring (z.B. jede abelsche Gruppe ist ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen). Dabei verzichten wir lediglich darauf, daß die Skalare multiplikative Inverse besitzen - die Auswirkungen sind jedoch "verheerend": ein Modul besitzt im allgemeinen keine Basis mehr und wir verlieren den Begriff der "Dimension". Lineare Algebra wurde in den ersten Semestern als Theorie der endlich-dimensionalen Vektorräume gelehrt, und vieles hing davon ab, daß die betrachteten Vektorräume "endliche Dimension" hatten. Wir werden in der Vorlesung einige "Endlichkeitsbedingungen" kennen lernen, die den Begriff der endlichen Dimension verallgemeinern und ersetzen (endlich erzeugt, noethersch, artinsch, endliche Länge).

Der Verzicht auf multiplikative Inverse führt aber auch zu einer reicheren Struktur bei den Ringen selbst. Betrachtet man einen Körper als Vektorraum über sich selbst, das heißt man betrachtet die Elemente als Vektoren der Länge eins, so hat er nur zwei Unterräume. Faßt man einen Ring hingegen als Modul über sich selbst auf, so hat er in aller Regel sehr viele "Untermoduln", die für gewöhnlich Ideale genannt werden. Gewissen (Klassen) dieser Ideale kommt dabei eine besondere Bedeutung zu. Die Vorlesung wird ein besonderes Augenmerk auf maximale Ideale, Primideale und Primärideale legen (Primärzerlegung, Nilradikal, Jacobsen Radikal). Diese können mit den Punkten geometrischer Objekte identifiziert werden und führen so zu einer faszinierenden Wechselbeziehung zwischen Geometrie und Algebra, die Gegenstand der algebraischen Geometrie ist.

Wann immer man eine Struktur betrachtet (z.B. Gruppen, Vektorräume, topologische Räume) betrachet man auch strukturerhaltende Abbildungen (z.B. Gruppenhomomorphismen, lineare Abbildungen, stetige Abbildungen). In der Algebra nennt man diese für gewöhnlich "Homomorphismen". Körperhomomorphismen sind sehr restriktiv. Sobald sie nicht alles auf die Null abbilden, sind sie bereits injektiv. Dies ist bei Ringhomomorphismen nicht mehr der Fall. Auch hier erlauben Ringe wieder eine größere Vielfalt, die wir in Auszügen in der Vorlesung betrachten werden. (ganze Ringerweiterungen, Noether-Normalisierung, going-up, going-down)

Und schließlich ist da noch der Begriff der Lokalisierung, bei dem es sich schlicht um das Konzept der Brüche handelt. So wie man in der Schule die rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen einführt (wobei man die Kürzungsregeln beachten muß), um das Fehlen von multiplikativen Inversen im Ring der ganzen Zahlen zu beheben (auch wenn das kein Lehrer so sagen würde), so kann man (unter guten Voraussetzungen) auch in anderen Ringen Brüche zulassen und erhält interessante neue Strukturen. (Quotientenringe, lokale Ringe, Nakayama Lemma)

Die Möglichkeit, eine ganze Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen zu können, macht die ganzen Zahl unglaublich sympatisch ... und nützlich. Diese Eigenschaft sinnvoll auf andere Ringe verallgemeinern zu können, scheint deshalb sehr erstrebenswert. Mögliche Verallgemeinerungen stellen die faktoriellen Ringe dar (etwa der Polynomring), die Dedekindringe (die in der Zahlentheorie von großem Interesse sind) oder allgemein die Theorie der Primärzerlegung in noetherschen Ringen. Letztere hat eine interessante geometrische Entsprechung, nämlich die Zerlegung eines geometrischen Raumes in seine irreduzible Komponenten (etwa die Aufspaltung des durch die Gleichung x*y=0 definierten Koordinatensystems in zwei Geraden).