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Thema |
Bemerkungen |
| Woche 1 |
| 16. Oktober |
Kapitel 1, Par. 1: Mehr ueber sigma-Algebren und Unabhaengigkeit.
Unabhaengige Mengensysteme, von Abbildungen
erzeugte sigma-Algebren
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| 18. Oktober |
Terminale sigma-Algebra, 0-1-Gesetz von Kolmogorov,
Produkt-sigma-Algebren
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| Woche 2 |
| 23. Oktober |
Gemeinsame Verteilung ist durch endlichdimensionale
Randverteilungen bestimmt, Produktmass.
Kapitel 2: Markovketten, Par. 2: Einfache symmetrische Irrfahrt.
Einfache symmetrische Irrfahrt waechst schneller als Wurzel(Zeit).
Par. 3: Galton-Watson-Prozesse, erzeugende Funktionen
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Bild eines Galton-Watson-Prozesses (mit freundl. Genehmigung von Prof.F.Merkl) |
| 25. Oktober |
Berechnung der Aussterbew'keit eines Galton-Watson-Prozesses.
Par. 4: (Zeitlich homogene) Markov-Ketten,
Markov-Eigenschaft. |
Abgabe Blatt 1
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| Woche 3 |
| 30. Oktober |
Uebergangsmatrix, Darstellung von Markov-Ketten als X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1}).
Konstruktion von Markovketten mit vorgegebener Startverteilung und
Uebergangsmatrix.
Mehrschrittuebergangsmatrix.
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Abgabe von Blatt 2 feiertagsbedingt in der Vorlesung oder
bis Mittwoch, 31. Oktober 2012, 18:00 Uhr im Postkasten von Prof. Zerner
im C-Bau, Ebene 3, Postzimmer
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| 1. November |
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| Keine Vorlesung (Feiertag).
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| Woche 4 |
| 6. November |
Kanonischer Prozess auf dem Pfadraum. Par. 5. Filtrationen, Stoppzeiten, dazugehoerige sigma-Algebra.
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| 8. November |
Starke Markoveigenschaft. Par. 6. Zustandsklassen, Rekurrenz/Transienz.
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Abgabe Blatt 3
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| Woche 5 |
| 13. November |
Greensche Funktion. Irreduzible, rekurrente MKn besuchen jeden Zustand unendlich oft. Periode.
Par. 7. Stationaere Folgen.
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| 15. November |
Invariante Masse. Doppeltstochastische Matrizen. (Konstruktive) Existenz von
invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. |
Abgabe Blatt 4
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| Woche 6 |
| 20. November |
Eindeutigkeit von
invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. Erwartete Rueckkehrzeit. Reversible Masse, sind invariant.
Nicht alle invarianten Masse sind reversibel. Zeitumkehr. Reversible W'Masse fuer Ehrenfest-Markovkette, Geburts- und Todesprozesse und
Irrfahrten auf ungerichteten Graphen.
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| 22. November |
Exponentielle Konvergenz gegen das invariante Mass, Beweis mittels Kopplung.
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Abgabe Blatt 5
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| Woche 7 |
| 27. November |
Erneuerungsstruktur fuer Eintrittzeiten. Ergodensatz fuer Markovketten.
Kapitel 3: Bedingte Erwartungswerte und Martingale.
Par. 8: Bed. E'Werte. E'werte bedingt auf Ereignisse.
E'werte bedingt auf von Partitionen erzeugte sigma-Algebren
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| 29. November |
E'werte bedingt auf allg. sigma-Algebren. Existenz (Radon-Nikodym)
und Eindeutigkeit von bed. E'werten.
Rechenregeln fuer bedingte E'werte: Projektionseigenschaft,
Monotonie, Linearitaet, sigma-Stetigkeit, Jensensche Ungleichung.
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Abgabe Blatt 6
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| Woche 8 |
| 4. Dezember |
Regeln fuer Integranden/Faktoren, die unabh. bzw. messbar bzgl. der bedingenden
sigma-Algebra sind.
Iterierte Bildung von bed. E'werten, Bedingte Dichten, Faktorisierung, Bed.E'Wert als Projektion
auf Unterraum.
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| 6. Dezember |
Par 9: (Sub-, Super-) Martingale. Beispiele fuer Martingale: Irrfahrten,
Skalierter Galton-Watson-Prozess, Polyas Urne |
Abgabe Blatt 7
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| Woche 9 |
| 11. Dezember |
Bedingung einer ZV
auf Elemente einer Filtration ergibt Martingal. Transformation von (Sub-)Martingalen.
Doob Zerlegung. Par. 10: Martingale und Stoppzeiten.
Doob'scher Stoppsatz, aufsteigende Ueberquerungen
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| 13. Dezember |
Martingalkonvergenzsatz.
Gestopptes Submartingal ist Submartingal. Konvergenz-Oszillationssatz bei nicht zu grossen Zuwaechsen,
Zweites Lemma von Borel-Cantelli. |
Abgabe Blatt 8
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| Woche 10 |
| 18. Dezember |
Ruinproblem und erwartete Austrittszeiten fuer
unsymmetrische und symmetrische Irrfahrten auf Z.
Par. 11: Martingale und
gleichgradige Integrierbarkeit. Gleichgradige Integrierbarkeit.
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| 20. Dezember |
Satz von Vitali ueber Zusammenhang von Konvergenz n.W. und
Konvergenz in L^1,
Levys 0-1-Gesetz. Verallgemeinerter Stoppsatz
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Abgabe Blatt 9
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| Woche 11 |
| 8. Januar |
Kapitel 4: Etwas Ergodentheorie. Par. 12-14: Ergodische Folgen.
Invariante sigma-Algebra zu einer Folge von ZVn.
Erzeugung von stationaeren bzw. ergodischen Folgen aus eben solchen.
Mischende Folgen.
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| 10. Januar |
Birkhoffs Ergodensatz. Beweis davon mit Hilfe von
Garsias Maximalem Ergodenlemma.
Kap. 5. Fouriertransformation, schwache Konvergenz und Normalverteilung.
Par 15. Komplexwertige Zufallsvariable
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Abgabe Blatt 10
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| Woche 12 |
| 15. Januar |
Fouriertransformation von Wahrscheinlichkeitsmassen. Elementare Eigenschaften. Momente.
Fouriertransformation der Normalverteilung, Eindeutigkeitssatz
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| 17. Januar |
Fourierumkehrformel, reellwertige Fouriertransformierte.
Par. 16 Schwache Konvergenz. Gleichgradige Straffheit, Helly-Prohorov
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Abgabe Blatt 11
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| Woche 13 |
| 22. Januar |
Straffheit mittels Fouriertransformation, Stetigkeitssatz.
Zum Bew. des ZGWS. Par. 17. Kovarianzmatrix, Normalverteilte Vektoren.
Mehrdim. Fouriertransformation
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| 24. Januar |
Fouriertransformation der Normalverteilung.
Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit,
Darstellung normalverteilter Vektoren
mittels i.i.d. standardnormalverteilter ZV,
Dichte von mehrdimensionalen Normalverteilungen.
Zentraler Grenzwertsatz in mehreren Dimensionen.
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Abgabe Blatt 12
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| Woche 14 |
| 29. Januar |
Par. 18: Punktprozesse auf Teilmengen von R^d.
Intensitaet davon, Poisson-Punkt-Prozesse, Konstruktion von Poisson-Punkt-Prozessen
mittels einer poissonverteilten Anzahl von iid ZVn. |
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| 31. Januar |
Superposition und
Ausduennen von Poisson-Punkt-Prozessen. Par.19: Poisson-(Punkt-)Prozesse auf der positiven reellen Halbachse.
Unabhaengige und stationaere Zuwaechse. |
Abgabe Blatt 13
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| Woche 15 |
| 5. Februar |
Fast sicher nur Spruenge der Groesse 1 bei 1-dimensionalen Poisson-Prozessen. Zeiten zwischen den Spruengen
sind iid exponential verteilt.
Simulation von Poisson-verteilten ZVn. Wartezeit-Paradoxon |
Vorlesungsstoff ist nicht mehr relevant fuer die Klausur, sondern nur fuer die Nachpruefung
bzw. muendliche Pruefung ueber "Wahrscheinlichkeitstheorie". |
| 7. Februar |
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Klausur von 14:15 bis 15:45 Uhr im Raum N5
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