| Datum |
Thema |
Bemerkungen, unvollstaendige Literaturhinweise |
| Woche 1 |
| 11. Oktober |
(allgemeine) Markoveigenschaft
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Breiman Chapter 15.1 |
| 13. Oktober |
Markov-Kerne, Uebergangskerne von Markov-Prozessen, endlich dimensionale
Randverteilungen von Markovprozessen |
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| Woche 2 |
| 18. Oktober |
Verkettung von Markov-Kernen, Chapman-Kolmogorov-Gleichung,
projektive Familien und Limiten, Fortsetzungssatz von Kolmogorov (ohne Beweis).
Familien von Markov-Kernen, die die Chapman-Kolmogorov-Gleichungen erfuellen,
induzieren Markov-Prozesse.
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Breiman Chapter 15.2 |
| 20. Oktober |
Raeumlich homogene Markovkerne. Prozesse mit unabh. Zuwaechsen entsprechen
Markovprozessen mit raeumlich homogenen Uebergangskernen. 0-1-Gesetz von
Blumenthal. Zeitlich homogene Markovprozesse. |
Abgabe Blatt 1
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| Woche 3 |
| 25. Oktober |
Prozesse mit stationaeren Zuwaechsen. Prozesse mit unabh. und stat.
Zuwaechsen entsprechen Markovprozessen
mit raeumlich und zeitlich homogenen Uebergangskernen.
Unendlich (unbegrenzt) teilbare Verteilungen und deren Fouriertransformierte.
Levy-Khinchin-Formel (ohne Beweis).
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| 27. Oktober |
Korrespondenz zwischen Prozessen mit unabh., stat. Zuwaechsen, die in gewissem
Sinne stetig in der Null sind, und unendlich teilbaren Verteilungen.
Live-Simulationen von Poisson- und Cauchy-Prozess und Brownscher Bewegung.
Stoppzeiten in stetiger Zeit.
| Abgabe Blatt 2; Breiman Chapter 14.4 |
| Woche 4 |
| 1. November |
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Allerheiligen, keine Vorlesung |
| 3. November |
Prozesse mit unabhaengigen und stationaeren Zuwaechsen (bzw. in
diskreter Zeit: Irrfahrten) haben die Starke Markov-Eigenschaft.
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Abgabe Blatt 3
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| Woche 5 |
| 8. November |
Martingale in stetiger Zeit.
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Breiman Chapter 14.3 |
| 10. November |
Markovprozesse mit abzaehlbarem oder endlichem Zustandsraum.
Matrix-Exponential- und -Logarithmus-Funktion |
Abgabe Blatt 4; Norris, Chapters 2, 3
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| Woche 6 |
| 15. November |
Generator, Q-Matrix; Realisierung von Markovprozessen mit endl. Zustandsraum und gegebenem
Generator mittels zeitlich diskreten Markovketten und exponentiellen Wartezeiten
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| 17. November |
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Abgabe von Blatt 5 bis um 16:00 Uhr im Postkasten von Prof. Zerner;
keine Vorlesung (Studientag)
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| Woche 7 |
| 22. November |
Brownsche Bewegung: Levys Konstruktion
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Moerters, Peres Chapter 1 |
| 24. November |
Levys Konstruktion (Forts.).
Gaussprozesse, Invarianzeigenschaften der Brownschen Bewegung
(Skaleninvarianz, Zeitinversion, Zeitumkehr, Starke Markov-Eigenschaft,
Spiegelungsprinzip) |
Abgabe Blatt 6
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| Woche 8 |
| 29. November |
Invarianzeigenschaften (Forts.).
Starkes Gesetz der grossen Zahlen fuer die BB, 0-1-Gesetz von Kolmogorov fuer die BB,
Maximum der BB
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| 1. Dezember |
Prozess der Eintrittszeiten hat unabhaengige, stationaere Zuwaechse.
Gesetz vom iterierten Logarithmus |
Abgabe Blatt 7
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| Woche 9 |
| 6. Dezember |
Lokale Pfadeigenschaften der BB. BB hat abz. unendlich viele lokale Maximumstellen;
diese sind alle strikt.
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Karatzas, Shreve Chapter 2.9 |
| 8. Dezember |
Pfade der BB sind f.s. nirgendwo differenzierbar.
Quadratische Variation der BB.
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Abgabe Blatt 8
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| Woche 10 |
| 13. Dezember |
(Totale, absolute) Variation der BB. Nullstellen der BB, Arcussinus-Gesetz fuer die letzte Nullstelle. Nullstellenmenge
ist perfekt.
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| 15. Dezember |
Brownsche Bewegung und Martingale. Austritt(szeit) der BB aus Intervall. BB mit Drift.
Doobs Martingalungleichung |
Abgabe Blatt 9; Moerters Peres Ch. 2.4
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| Woche 11 |
| 20. Dezember |
Stochastische Differentialgleichungen und Integrale: Motivation.
Riemann-Stieltjes-Integral. Versuch, das Integral von B_s dB_s als RS-Integral auszurechnen.
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Oksendal Ch. 3; Meintrup, Schaeffler Kap. 14 |
| 22. Dezember |
Def. und Eigenschaften des Ito-Integrales fuer Elementare Prozesse
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Abgabe Blatt 10; Bobrowski Ch. 4.4.2 |
| Woche 12 |
| 10. Januar |
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Keine Vorlesung wegen Krankheit des Dozenten |
| 12. Januar |
Progressiv-messbare Funktionen,
Approximation davon durch elementare Funktionen
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Abgabe Blatt 11
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| Woche 13 |
| 17. Januar |
Ito-Integral progressiv-messbarer Integranden;
Eigenschaften davon, insbesondere Martingaleigenschaft und
Existenz einer Modifikation mit stetigen Pfaden
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| 19. Januar |
Bemerkungen (ohne Bew.) zur Ito-Integration noch allgemeinerer Integranden
(groessere Filtration; adaptiert und produkt-messbar; f.s. Endlichkeit
statt L^2-Integrierbarkeit); Ito-Formel fuer f(B_t), Beweis davon
unter starken Voraussetzungen
an f.
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Abgabe Blatt 12, Oksendal Ch. 4, Mikosch Ch. 2.3
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| Woche 14 |
| 24. Januar |
Heuristische Herleitung der Ito-Formel fuer f(t,B_t). Waermeleitungsgleichung,
geometrische BB. 1-dimensionaler Ito-Prozess X_t, Ito-Formel fuer f(t,X_t), Brownsche
Bruecke.
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| 26. Januar |
Ito-Exponential. Integration bzgl. mehrdimensionaler BB, mehrdim. Ito-Prozesse,
Ito-Formel dafuer. Starke Loesungen von SDE. Loesungsansatz mittels Ito-Formel.
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Abgabe Blatt 13
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| Woche 15 |
| 31. Januar |
Loesungsformel fuer Lineare SDE; Vasicek Zinsmodell, Langevin-Gleichung.
"Girsanov" fuer Irrfahrten mit Drift. |
Mikosch Ch. 3.3 |
| 2. Februar |
Girsanov fuer B_t+t. Verallgemeinerung davon (ohne Bew.).
Schwache Loesungen |
Oksendal Ch. 8.6, Mikosch Ch. 4.2
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