| Datum |
Thema |
Bemerkungen |
| Woche 1 |
| 11. Oktober |
Kapitel 1, Par. 1: Mehr ueber sigma-Algebren und Unabhaengigkeit.
Unabhaengige Mengensysteme, von Abbildungen
erzeugte sigma-Algebren, terminale sigma-Algebra
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| 15. Oktober |
0-1-Gesetz von Kolmogorov, Produkt-sigma-Algebren,
Gemeinsame Verteilung ist durch endlichdimensionale
Randverteilungen bestimmt, Produktmass.
Kapitel 2: Markovketten, Par. 2: Einfache symmetrische Irrfahrt |
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| Woche 2 |
| 18. Oktober |
Einfache symmetrische Irrfahrt waechst schneller als Wurzel(Zeit) und
ist rekurrent.
Par. 3: Erzeugende Funktionen, Galton-Watson-Prozesse
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| 22. Oktober |
Berechnung der Aussterbew'keit eines Galton-Watson-Prozesses.
Par. 4: (Zeitlich homogene) Markov-Ketten,
Markov-Eigenschaft, Uebergangsmatrix. |
Abgabe Blatt 1
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| Woche 3 |
| 25. Oktober |
Darstellung von Markov-Ketten als X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1}).
Konstruktion von Markovketten mit vorgegebener Startverteilung und
Uebergangsmatrix.
Mehrschrittuebergangsmatrix.
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| 29. Oktober |
Kanonischer Prozess auf dem Pfadraum. Par. 5. Filtrationen, Stoppzeiten, dazugehoerige sigma-Algebra.
| Abgabe Blatt 2 |
| Woche 4 |
| 1. November |
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Allerheiligen, keine Vorlesung |
| 5. November |
Starke Markoveigenschaft. Par. 6. Zustandsklassen, Rekurrenz/Transienz, Greensche Funktion.
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Abgabe Blatt 3
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| Woche 5 |
| 8. November |
Irreduzible, rekurrente MKn besuchen jeden Zustand unendlich oft. Periode.
Par. 7. Stationaritaere Folgen, invariante Masse.
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| 12. November |
Doppeltstochastische Matrizen, Existenz und Eindeutigkeit von
invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. |
Abgabe Blatt 4
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| Woche 6 |
| 15. November |
Erwartete Rueckkehrzeit. Reversible Masse, sind invariant.
Nicht alle invarianten Masse sind reversibel. Zeitumkehr. Reversible W'Masse fuer Ehrenfest-Markovkette, Geburts- und Todesprozesse und
Irrfahrten auf ungerichteten Graphen.
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| 19. November |
Konvergenz gegen das invariante Mass, Beweis mittels Kopplung.
Erneuerungsstruktur fuer Eintrittzeiten. Ergodensatz fuer Markovketten.
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Abgabe Blatt 5
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| Woche 7 |
| 22. November |
Kapitel 3: Bedingte Erwartungswerte und Martingale.
Par. 8: Bed. E'Werte. Erwartungswerte bedingt auf Ereignisse.
Erwartungswerte bedingt auf von Partitionen erzeugte sigma-Algebren,
auf allg. sigma-Algebren. Existenz (Radon-Nikodym)
und Eindeutigkeit von bed. Erwartungswerten
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| 26. November |
Rechenregeln fuer bedingte Erwartungswerte: Projektionseigenschaft,
Monotonie, Linearitaet, sigma-Stetigkeit, Jensensche Ungleichung.
Regeln fuer Integranden/Faktoren, die unabh. bzw. messbar bzgl. der
sigma-Algebra sind.
Iterierte Bildung von bed. E'werten |
Abgabe Blatt 6
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| Woche 8 |
| 29. November |
Bedingte Dichten, Faktorisierung, Bed.E'Wert als Projektion
auf Unterraum. Par 9: (Sub-, Super-) Martingale.
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| 3. Dezember |
Beispiele fuer Martingale: Irrfahrten,
Skalierter Galton-Watson-Prozess, Polyas Urne, Bedingung einer ZV
auf Elemente einer Filtration. Transformation von (Sub-)Martingalen.
Doob Zerlegung |
Abgabe Blatt 7
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| Woche 9 |
| 6. Dezember |
Par. 10: Martingale und Stoppzeiten.
Doob'scher Stoppsatz, aufsteigende Durchquerungen,
Martingalkonvergenzsatz.
Gestopptes Submartingal ist Submartingal.
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| 10. Dezember |
Konvergenz-Oszillationssatz bei beschraenkten Zuwaechsen,
Zweites Lemma von Borel-Cantelli. Par. 11: Martingale und
gleichgradige Integrierbarkeit |
Abgabe Blatt 8
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| Woche 10 |
| 13. Dezember |
Satz von Vitali ueber Zusammenhang von Konvergenz n.W. und
Konvergenz in L^1, Konvergenzsaetze fuer gleichgradig integrierbare (Sub-)Martingale,
Levys 0-1-Gesetz. Gestoppte gleichgradig
integrierbare (Sub-)Martingale sind gleichgradig integrierbar.
Optional Stopping/Sampling Theorem
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| 17. Dezember |
Ruinproblem und erwartete Austrittszeiten fuer
unsymmetrische und symmetrische Irrfahrten auf Z.
Kapitel 4: Etwas Ergodentheorie. Par. 12: Ergodische Folgen.
Invariante sigma-Algebra zu einer Folge von ZVn |
Abgabe Blatt 9
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| Woche 11 |
| 20. Dezember |
Erzeugung von stationaeren bzw. ergodischen Folgen aus eben solchen.
Ergodische Markovketten. Par. 13. Masstreue Transformationen. Shift.
Ergodische Transformationen
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Keine Uebungsstunden in dieser Woche |
| Woche 12 |
| 10. Januar |
Mischende Transformationen. Par. 14. Garsias Maximales Ergodenlemma.
Birkhoffs Ergodensatz |
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| 14. Januar |
Ergodensatz fuer stationaere Folgen.
Kap. 5. Fouriertransformation, schwache Konvergenz und Normalverteilung.
Par 15. Komplexwertige Zufallsvariable, Fouriertransformation von Wahrscheinlichkeitsmassen.
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Abgabe Blatt 10
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| Woche 13 |
| 17. Januar |
Fouriertransformation der Normalverteilung, Eindeutigkeitssatz, reellwertige Fouriertransformierte.
Par. 16 Schwache Konvergenz. Gleichgradige Straffheit, Helly-Prohorov.
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| 21. Januar |
Straffheit mittels Fouriertransformation, Stetigkeitssatzes.
Zum Bew. des ZGWS. Par. 17. Kovarianzmatrix, Normalverteilte Vektoren.
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Abgabe Blatt 11
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| Woche 14 |
| 24. Januar |
Mehrdim. Fouriertransformation und Normalverteilung.
Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit,
Darstellung normalverteilter Vektoren
mittels i.i.d. standardnormalverteilter ZV,
Dichte von mehrdimensionalen Normalverteilungen.
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| 28. Januar |
Zentraler Grenzwertsatz in zwei und mehr Dimensionen.
Kapitel 6: Punktprozesse. Par. 18: Punktprozesse auf Teilmengen von R^d.
Intensitaet davon, Poisson-Punkt-Prozesse
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Abgabe Blatt 12
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| Woche 15 |
| 31. Januar |
Konstruktion von Poisson-Punkt-Prozessen mittels einer poissonverteilten Anzahl von iid ZVn.
Poisson-Punkt-Prozesse auf der positiven reellen Halbachse.
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| 4. Februar |
Unabhaengige und stationaere
Zuwaechse. Zwischenzeiten von 1-dimensionalen Poisson-Prozessen sind iid exponential verteilt (und umgekehrt).
Simulation von Poisson-verteilten ZVn, Wartezeit-Paradoxon
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