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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{06.11.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 4}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%

{\bf Aufgabe 1:} Sei $(K,+,\cdot)$ ein K\"orper und definiere f\"ur $x\in K$ die Potenzen von $x$ rekursiv durch
\begin{align*}
x^0:=1\text{ und }x^{n+1}:=x^n\cdot x\text{ f\"ur jedes }n\in\N_0.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass f\"ur alle $n,m\in\N_0$ und alle $x,y\in K$ 
\begin{align*}
x^m\cdot x^n=x^{m+n},\quad (x^n)^m=x^{nm}\quad\text{und}\quad x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n
\end{align*}
gilt. Definieren Sie zudem die Potenzen f\"ur negative ganzzahlige Exponenten und begr\"unden Sie die Wahl Ihrer Definition.
\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} Sei $(K,+,\cdot)$ ein K\"orper. Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x,y\in K$ 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] $(-x)\cdot(-y)=x\cdot y$,
\item[(b)] $-(-x)=x$,
\item[(c)] $x\cdot y=0\Rightarrow (x=0\text{ oder }y=0)$,
\item[(d)] $x^2=y^2\Leftrightarrow(x=y\text{ oder }x=-y)$
\end{enumerate}
gilt.\\[1em]
{\bf Aufgabe 3:} Zeigen Sie, dass $\C$ ein K\"orper ist und beweisen Sie zudem, dass dieser nicht angeordnet werden kann.\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} Sei $(K,P)$ ein angeordneter K\"orper.
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ hei\ss t antisymmetrisch, falls \begin{align*}
\forall\;a,b\in M:(aRb\text{ und }bRa)\Rightarrow a=b
\end{align*}
gilt.\\[1em]
Zeigen Sie, dass die Relation $\geq$ auf $K$ antisymmetrisch und transitiv ist.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(i)] $\forall\;x,y\in K:x>y\Rightarrow -y>-x$,
\item[(ii)] $\forall\;x\in P:\forall\;y\in(-P):x\cdot y\in(-P)$,
\item[(iii)] $\forall\;x,y\in P:x>y\Rightarrow y^{-1}>x^{-1}$
\end{enumerate}
gilt.
\end{enumerate}

{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 13. November 2014, in der Vorlesung.

%
\end{document}
