Arbeitsbereich Stochastik - Mathematisches Institut
- Universität Tübingen
Stochastische Analysis
Kursvorlesung mit Übungen
Wintersemester 2016/2017
Dozent:
Professor Dr. Martin Möhle
Termin:
Di., Do. 10:15 - 12:00 Uhr
Zeitlicher Umfang:
4+2
Ort:
Raum N8, Hörsaalzentrum
Betreuer:
Herr Jonas Kukla
Übungen:
Mi., 10:15 - 12:00 Uhr, Seminarraum S6
Adressaten:
Studierende der Mathematik, Physik und der Informatik
Prüfungsgebiete:
Bachelor und Master: Angewandte und Reine Mathematik;
Staatsexamen: Angewandte Mathematik, Stochastik
Beschreibung der Lehrveranstaltung:
Unter Stochastischer Analysis versteht man, grob gesprochen,
den Teil der Mathematik, der auf dem stochastischen Integral, z.B.
à la Itô, aufbaut. Der Integrator ist dabei nicht nur zufällig,
sondern zudem noch typischerweise von unbeschränkter Variation,
z.B. die Brownsche Bewegung oder gewisse Semimartingale. Mit dem
stochastischen Integral können beispielsweise Wertentwicklungen
von in kontinuierlicher Zeit gehandelten Portfolios modelliert
werden. Ebenso benötigen Fragestellungen in der Biologie und Physik
diesen Integralbegriff. Ein natürlicher Aspekt sind dabei
Darstellungssätze für gegebene Prozesse als stochastische
Integrale, die beispielsweise in der Finanzmathematik die Darstellbarkeit
von Derivaten durch Handelsstrategien (Hedging) sichern.
Aufbauend auf dem stochastischen Integral werden stochastische
Differentialgleichungen eingeführt, Lösungsbegriffe diskutiert und
in manchen Fällen Lösungen ermittelt (z.B. mit der
Girsanov-Transformation). An dieser Stelle kann untersucht werden,
welche diskreten Modelle nach geeigneter Reskalierung gegen
Lösungen von gewissen stochastischen Differentialgleichungen
konvergieren. Wenn Zeit bleibt, können stochastische partielle
Differentialgleichungen behandelt werden.
Voraussetzungen:
Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere der Martingaltheorie
Literatur:
Baudoin, F.: Diffusion Processes and Stochastic Calculus, EMS, 2014
Chung, K.L. and Williams, R.J.: Introduction to Stochastic Integration, Birkhäuser, 1990
Durrett, R.: Stochastic Calculus, CRC Press, 2006
Irle, A.: Finanzmathematik, Teubner, 2003
Karatzas, I., Shreve, S.: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991