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Arbeitsbereich Stochastik - Mathematisches Institut
- Universität Düsseldorf |
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Stochastische Analysis und Finanzmathematik
Vorlesung mit Übungen
Sommersemester 2007, Universität Düsseldorf
| Dozent: |
Professor Dr. Martin Möhle |
| Zeit: |
Mo. 11:15 - 13:00 Uhr, Mi. 9:15 - 11:00 Uhr |
| Ort: |
Raum 2522.01.81 |
| Betreuer: |
Herr Christoph Jonek |
| Übungen: |
Do., 14:15 - 16:00 Uhr, Raum 2522.01.81 |
Kreditpunkte/Modul:
Beschreibung der Lehrveranstaltung: (Inhalte und Ziele)
Unter Stochastischer Analysis versteht man, grob gesprochen,
den Teil der Mathematik, der auf das stochastische Integral, z.B.
à la Itô, aufbaut. Der Integrator ist dabei nicht nur zufällig,
sondern zudem noch typischerweise von unbeschränkter Variation,
z.B. die Brownsche Bewegung oder gewisse Semimartingale. Mit dem
stochastischen Integral können beispielsweise Wertentwicklungen
von in kontinuierlicher Zeit gehandelten Portfolios berechnet
werden, aber auch Fragestellungen in der Biologie und Physik
benötigen diesen Integralbegriff. Ein Aspekt sind dabei natürlich
Darstellungssätze für gegebene Prozesse als stochastische
Integrale, die in der Finanzmathematik die Darstellbarkeit von
Derivaten durch Handelsstrategien (Hedging) sichern.
Aufbauend auf dem stochastischen Integral werden stochastische
Differentialgleichungen eingeführt, Lösungsbegriffe diskutiert und
in manchen Fällen Lösungen ermittelt (z.B. mit der
Girsanov-Transformation). An dieser Stelle kann untersucht werden,
welche diskreten Modelle nach geeigneter Reskalierung gegen
Lösungen von gewissen stochastischen Differentialgleichungen
konvergieren. Wenn Zeit bleibt, können stochastische partielle
Differentialgleichungen behandelt werden.
Weitere Gegenstände der Vorlesung sind spezielle Eigenschaften
der Brownschen Bewegung und ihrer nahen Verwandten (z.B.
Besselprozesse). Hier wollen wir beispielsweise auf die
Potentialtheorie eingehen, aber auch Exkursionen und Lokalzeiten
genauer untersuchen.
Reversible Markoffprozesse, zu denen eine große Klasse von
Diffusionsprozessen gehören, können durch Angabe von
Energiefunktionalen, sog. Dirichlet-Formen charakterisiert
werden. Die Theorie der Dirichlet-Formen liefert, ähnlich wie die
Martingal-Probleme, einen Zugang zu stochastischen
Differentialgleichungen, der mit sehr geringen Voraussetzungen
auskommt, um den Preis, dass man hier keine pfadweisen, sondern
nur eine L^2-Theorie hat. Im Rahmen der zeitlichen Möglichkeiten
sollen Dirichlet-Formen und der Zusammenhang zu stochastischen
Prozessen untersucht werden.
In jüngster Zeit hat das Interesse an Lévy-Prozessen wieder
zugenommen. Wenn Zeit bleibt, können die analytischen Aspekte in
dieser Vorlesung behandelt werden.
Teilnahmevoraussetzungen:
Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere
der Martingaltheorie und elementarer Eigenschaften der Brownschen Bewegung
Teilnehmer:
Studierende im Diplom- oder Masterstudiengang Mathematik
Literatur:
- Durrett, R.: Stochastic Calculus, CRC Press, 2006
- Irle, A.: Finanzmathematik, Teubner, 2003
- Karatzas, I., Shreve, S.: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991
- Oksendal, B.: Stochastic Differential Equations, Springer, 2006
- Weizsäcker, H., Winkler, G.: Stochastic Integrals, Vieweg, 1990
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Martin Möhle
