Zusatz-Blatt B

Im Folgenden sind Aussagen aufgelistet, die Fehler von der Art enthalten, wie sie in den ersten Wochen recht häufig aufgetreten sind. Manche Aussagen sind einfach nur falsch, andere passen nicht mit den Definitionen zusammen, einige ergeben überhaupt keinen Sinn. Finde heraus, was an den Aussagen jeweils falsch ist.

Die Lösungen sind nicht abzugeben und werden auch nicht korrigiert. Sie werden aber auf Wunsch in den Tutorien besprochen!

• Sei $A\in\Gl(3,\R)$. Es gilt: $A\Leftrightarrow (A^{-1})^{-1}$.
• Die folgende Umformung ist eine zulässige elementare Umformung:
  
  $$\matrix{ccc}{1&2t&3\\ 4t&5&6}\;\mapsto\;\matrix{ccc}{4t&8t^2&12t\\ 4t&5&6}.$$
  
  

• Sei $A\in\Mat(m\times n,\R)$, so ist $\rang(A)=m$.
• Ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten und fünf Gleichungen ist nicht lösbar.
• Sei $A\in\Mat(m\times n,\R)$, dann gilt $\vert A\vert=m\cdot n$.
• Ist M eine Menge und $N\subset M$, dann gilt $N\subset \kp(M)$.
• Sei M eine Menge, dann ist die Abbildung $\id_M(x)$ für $x\in M$ bijektiv.
• Endliche Mengen sind genau dann injektiv, wenn sie surjektiv sind.
• Seien A,B,C Mengen, dann gilt $(A\wedge B)\wedge C=A\wedge(B\wedge C)$.
• Sei $A\in B$ eine Teilmenge von B, dann gilt $\vert A\vert\leq\vert B\vert$.
• Zwei Abbildungen $f:M\rightarrow N$ und $g:M\rightarrow N$ sind genau dann gleich, wenn f(x)=g(x).
• Behauptung: Zeige, $\id:\R\rightarrow\R:x\mapsto x$ ist surjektiv.
  Beweis: Wenn $\id$ surjektiv ist, dann gilt $\id(\R)=\R$, und das gilt.
• Sei $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung und $B\subset N$. Genau dann existiert f^-1(B), wenn f bijektiv ist.
• Für Abbildungen $f,g:M\rightarrow M$ soll gelten: $\id_M=(f\circ g)(x)$ für $x\in M$.
• Ist $R\subset M\times M$ eine Ordnungsrelation, dann gilt $m\leq m$ für $m\in M$.
• Ist $\leq$ eine Wohlordnung auf M, dann gilt $m\leq n$ für alle $m,n\in M$.
• Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf M, dann gilt für $m\in M$: m=[m].
• Jede Gruppe besitzt ein Inverses.
• Ist G eine Gruppe, $g,h\in G$, so gilt (gh)^-1=g^-1h^-1.
• Jede abgeschlossene Teilmenge einer Gruppe ist eine Untergruppe.
• Ist U eine Untergruppe von G, so ist U abgeschlossen.
• Sei G eine Gruppe, und $\varphi:G\rightarrow {\mathbbm S}(G)$ sei definiert durch $\varphi(g):G\rightarrow G:x\mapsto g\cdot x$ für $g\in G$. Dann gilt $\varphi(g)=g\cdot x$.
• Nur injektive Gruppenhomomorphismen besitzen einen Kern.
• $\mathbbm S_n$ ist keine Gruppe bezüglich der Operation +.
• Die Menge $\Mat(n,\R)$ ist assoziativ.
• Weil die $\mathbbm 1_n$ eine $n\times n$-Matrix ist, ist sie invertierbar.
• Die einzigen Äquivalenzrelationen auf $\Z$ sind die Äquivalenzrelationen von der Form ``kongruent modulo n'' mit $n\in \Z$.
• Die Kerne und Bilder von Gruppenhomomorphismen sind Normalteiler.
• Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist eine Primzahl.
• $\Z$ läßt sich in Primfaktoren zerlegen.
• Ringe haben einen Körper.
• Ringe sind kommutativ.