Zusatz-Blatt A
Wer in der vorlesungsfreien Zeit die in der Vorlesung eingeführten Begriffe üben möchte, dem seien die im Folgenden angeführten Aufgaben empfohlen. Die Lösungen sind nicht abzugeben und werden auch nicht korrigiert. Sie werden aber auf Wunsch in den Tutorien besprochen!
MATRIZEN
Aufgabe 1: [Unabhängigkeit des Rangs von der ZSF]
MENGEN
Aufgabe
2: Seien
Mengen.
ABBILDUNGEN
Aufgabe
3: Seien M, N nicht-leere Mengen,
eine
Abbildung. Beweise die beiden folgenden Aussagen:
Aufgabe
4: Es sei M eine Menge,
die Potenzmenge von M. Wir
definieren ein Abbildung:
Aufgabe 5: Untersuche die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
RELATIONEN
Aufgabe
6: Suche zu jeder Teilmenge T der Menge
reflexiv, symmetrisch, transitiv
eine
Relation, die zwar die Eigenschaften aus T, nicht aber die aus
besitzt.
Aufgabe
7: Wir definieren auf
eine Relation R durch
Aufgabe
8: Es sei
die Menge aller Abbildungen von
nach
.
Wir definieren eine Relation R auf
durch
.
Zeige, daß R eine
Äquivalenzrelation ist.
GRUPPEN
Aufgabe
9: Es sei
.
Zeige, daß G bezüglich der Komposition von Abbildungen eine
nicht-abelsche Gruppe ist.
Aufgabe
10: Welche der folgenden Mengen sind Untergruppen von
?
Aufgabe 11: Ist G eine Gruppe der Ordnung |G|=4, so ist G abelsch.
GRUPPENHOMOMORPHISMEN
Aufgabe
12: Es sei G eine Gruppe. Prüfe, welche der folgenden Abbildungen ein
Gruppenhomomorphismus / Gruppenisomorphismus ist, wobei
fest vorgegeben seien:
Aufgabe
13: Es seien G und H endliche Gruppen von teilerfremder
Ordnung. Zeige, daß es genau einen Homomorphismus von G nach H
gibt.
Hinweis: Verwende den Homomorphie-Satz und den
Satz von Lagrange.
NORMALTEILER
Aufgabe
14: [Normalteiler]
Es sei
eine Gruppe,
eine Untergruppe von
G. Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
Aufgabe
15: Zeige durch ein Gegenbeispiel, daß für eine Teilmenge N einer
Gruppe
aus
noch nicht
folgt, daß N ein Normalteiler ist.
SYMMETRISCHE GRUPPE
Aufgabe
16: [Satz von Cayley]
Ist
eine endliche Gruppe mit |G|=n, so ist G
isomorph zu einer Untergruppe von
.
Aufgabe
17: [Kleinsche Vierer-Gruppe]
Die Teilmenge
ist eine Untergruppe der Symmetrischen
Gruppe vom Grad 4, die sogenannte Kleinsche Vierergruppe.
ist sogar ein Normalteiler von
.
RINGE / KÖRPER
Aufgabe
18: Es seien M eine Menge und
ein Ring.
Aufgabe
19: Es sei
ein Körper,
.
Aufgabe
20: Sei
ein Ring mit 1. Dann ist
eine
Gruppe.