Zusatz-Blatt A

Wer in der vorlesungsfreien Zeit die in der Vorlesung eingeführten Begriffe üben möchte, dem seien die im Folgenden angeführten Aufgaben empfohlen. Die Lösungen sind nicht abzugeben und werden auch nicht korrigiert. Sie werden aber auf Wunsch in den Tutorien besprochen!

MATRIZEN

Aufgabe 1:    [Unabhängigkeit des Rangs von der ZSF]

1.

Sei $C=(c_{i,j})\in\Mat(n,\R)$ invertierbar mit c_ij=0 für alle $i\geq r,\;j\geq s$, dann ist r=s.

2.

Sei $A\in\Mat(n,\R)$ eine Matrix in ZSF, $\rang(A)=r$, dann gibt es eine Matrix $X\in\Mat(n,\R)$, so daß $A\cdot X=(e^1,\ldots,e^r,0,\ldots,0)$.

3.

Sind $A',A''\in\Mat(n,\R)$ zwei ZSF der Matrix $A\in\Mat(n,\R)$, so gilt $\rang(A')=\rang(A'')$.

Hinweis zu c.: Man führe (unter Benutzung von a. und b. die Annahme $\exists\;P_1,P_2\in\Gl_n(\R)$ mit $P_1\cdot A=ZSF$ vom Rang r und $P_2\cdot A=ZSF$ vom Rang s<r zum Widerspruch.

MENGEN

Aufgabe 2:    Seien $A,B,C\subset M$ Mengen.

1.

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$,

2.

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$,

3.

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$,

4.

$A\times B=B\times A$ genau dann, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt

(a)

A=B,

(b)

$A=\emptyset$, oder

(c)

$B=\emptyset$.

ABBILDUNGEN

Aufgabe 3:    Seien M, N nicht-leere Mengen, $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung. Beweise die beiden folgenden Aussagen:

• f ist genau dann surjektiv, wenn f eine Rechtsinverse besitzt, d. h. wenn eine Abbildung $g:N\rightarrow M$ existiert mit $f\circ g=\id_N$.
• f ist genau dann injektiv, wenn f eine Linksinverse besitzt, d. h. wenn gilt:
  
  $$\exists\;h:N\rightarrow M\;:\; h\circ f=\id_M.$$
  
  

Aufgabe 4:    Es sei M eine Menge, $\kp(M)$ die Potenzmenge von M. Wir definieren ein Abbildung:

$$f:\kp(M)\rightarrow\kp(M)\;:\; X\rightarrow M\setminus X.$$

Zeige, f ist eine Bijektion.

Aufgabe 5:    Untersuche die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

1.

$f:\R\times\R\rightarrow\;:\;(x,y)\mapsto (y,3)$,

2.

$g:\R\times\R\rightarrow\;:\;(x,y)\mapsto (x+3,y-2)$,

3.

$h:\R\times\R\rightarrow\;:\;(x,y)\mapsto (xy,x+1)$, und

4.

$k:\R\times\R\rightarrow\;:\;(x,y)\mapsto (xy,x+y)$.

RELATIONEN

Aufgabe 6:    Suche zu jeder Teilmenge T der Menge $M=\{$reflexiv, symmetrisch, transitiv$\}$ eine Relation, die zwar die Eigenschaften aus T, nicht aber die aus $M\setminus T$ besitzt.

Aufgabe 7:    Wir definieren auf $\N\setminus\{0\}$ eine Relation R durch

$$R:=\big\{(n,m)\in (\N\setminus\{0\})\times (\N\setminus\{0\})\;\big\vert\; n\;\vert\;m\big\},$$

Ist R eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation (und dann ggf. eine Totalordnung oder gar eine Wohlordnung).

Aufgabe 8:    Es sei $\R^{\R}$ die Menge aller Abbildungen von $\R$ nach $\R$. Wir definieren eine Relation R auf $\R^{\R}$ durch $R=\{(f,g)\in \R^{\R}\times\R^\R\;\vert\; f(0)=g(0)\}$. Zeige, daß R eine Äquivalenzrelation ist.

GRUPPEN

Aufgabe 9:    Es sei $G:=\{f_{a,b}:\R\rightarrow\R:x\mapsto ax+b\;\vert\; a,b\in\R\}$. Zeige, daß G bezüglich der Komposition von Abbildungen eine nicht-abelsche Gruppe ist.

Aufgabe 10:    Welche der folgenden Mengen sind Untergruppen von ${\mathbbm S}(\R)$?

1.

$U_1:=\{f\in{\mathbbm S}(\R)\;\vert\; f(x)\not=x \mbox{ für nur endlich viele }x\in\R\}$,

2.

$U_2:=\{f\in{\mathbbm S}(\R)\;\vert\; f(x)<f(y) \mbox{ falls }x<y\}$,

3.

$U_3:=\{f\in{\mathbbm S}(\R)\;\vert\; \vert f(x)\vert=\vert x\vert \mbox{ für alle }x\in\R\}$.

Aufgabe 11:    Ist G eine Gruppe der Ordnung |G|=4, so ist G abelsch.

GRUPPENHOMOMORPHISMEN

Aufgabe 12:    Es sei G eine Gruppe. Prüfe, welche der folgenden Abbildungen ein Gruppenhomomorphismus / Gruppenisomorphismus ist, wobei $g,h\in G$ fest vorgegeben seien:

1.

$G\rightarrow G:x\mapsto x\cdot g$,

2.

$G\rightarrow G:x\mapsto g\cdot x\cdot g$,

3.

$G\rightarrow G:x\mapsto h\cdot x\cdot g$,

4.

$G\rightarrow G:x\mapsto h^{-1}\cdot x\cdot g$,

5.

$G\rightarrow G:x\mapsto x^{-1}$,

6.

$G\rightarrow G:x\mapsto x^2$.

Aufgabe 13:    Es seien G und H endliche Gruppen von teilerfremder Ordnung. Zeige, daß es genau einen Homomorphismus von G nach H gibt.
Hinweis: Verwende den Homomorphie-Satz und den Satz von Lagrange.

NORMALTEILER

Aufgabe 14:    [Normalteiler] Es sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe, $N\subseteq G$ eine Untergruppe von G. Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

1.

$g^{-1}\cdot n\cdot g\in N$ für alle $g\in G$ und $n\in N$.

2.

$g^{-1}\cdot N\cdot g\subseteq N$ für alle $g\in G$.

3.

$g\cdot N=N\cdot g$ für alle $g\in G$.

4.

$(g\cdot N)\cdot(h\cdot N)=(g\cdot h)\cdot N$ für alle $g,h\in G$.

Erfüllt N die angegebenen Bedingungen, so ist N ein Normalteiler von G.

Aufgabe 15:    Zeige durch ein Gegenbeispiel, daß für eine Teilmenge N einer Gruppe $(G,\cdot)$ aus $g^{-1}\cdot n\cdot g\in N$ noch nicht folgt, daß N ein Normalteiler ist.

SYMMETRISCHE GRUPPE

Aufgabe 16:    [Satz von Cayley]
Ist $(G,\cdot)$ eine endliche Gruppe mit |G|=n, so ist G isomorph zu einer Untergruppe von $\mathbbm S_n$.

Aufgabe 17:    [Kleinsche Vierer-Gruppe]
Die Teilmenge ${\mathbbm K}_4:=\{(1),(1\;2)\circ(3\;4),(1\;3)\circ(2\;4),(1\;4)\circ(1\;3)\} \subset{\mathbbm S}_4$ ist eine Untergruppe der Symmetrischen Gruppe vom Grad 4, die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. $\mathbbm K_4$ ist sogar ein Normalteiler von $\mathbbm S_4$.

RINGE / KÖRPER

Aufgabe 18:    Es seien M eine Menge und $(R,+,\cdot)$ ein Ring.

1.

Wir definieren für $f,g\in R^M:=\{f\;\vert\;f:M\rightarrow R\}$ die Abbildungen $f+g:M\rightarrow R$ und $f\cdot g:M\rightarrow R$ durch (f+g)(x):=f(x)+g(x) bzw.  $(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)$ für $x\in M$.
Zeige, $(R^M,+,\cdot)$ ist ein Ring.

2.

Falls R sogar ein Körper ist, ist dann R^M ein Körper?

Aufgabe 19:    Es sei $(K,+,\cdot)$ ein Körper, $x,y\in K,\;u,v\in K^*$.

1.

Zeige, $\frac{x}{u}+\frac{y}{v}=\frac{xv+yu}{uv}$.

2.

Zeige: $x^2=1\;\Leftrightarrow\;x\in\{1,-1\}$.

Aufgabe 20:    Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring mit 1. Dann ist $(R^*,\cdot)$ eine Gruppe.