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Literatur:

	John Humphreys, A course in group theory, Oxford University Press 1996.
	Thomas Keilen, Endliche Gruppen, Eine Einführung mit dem Ziel der Klassifikation von Gruppen kleiner Ordnung (2001).

Inhalt:

Wir wollen in diesem Proseminar Methoden zur Untersuchung endlicher Gruppen kennenlernen. Unser Ziel ist es dabei, die Methoden anzuwenden, um "endliche Gruppen kleiner Ordnung zu klassifizieren". Was verstehen wir darunter?

Wann immer man eine Struktur einführt (z.B. Vektorräume, Gruppen, topologische Räume, ...) betrachtet man auch "strukturerhaltende" Abbildungen zwischen diesen (z.B. lineare Abbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen, ...). Ist eine solche Abbildung f:G->H bijektiv (und ist die Umkehrabbildung ebenfalls strukturerhaltend), so besitzen G und H die gleichen Eigenschaften, sind als Gruppen also "nicht mehr unterscheidbar". Wir werfen sie deshalb in einen gemeinsamen Topf - oder besser in eine gemeinsame Klasse. Etwas mathematischer ausgedrückt: die Isomorphie induziert eine Äquivalenzrelation auf der Gesamtheit aller Gruppen, und wir interessieren uns für die zugehörigen Äquivalenzklassen. Die Idee ist dann, daß man alle Gruppen kennen würde, wenn man aus jeder Klasse einen Vertreter kennen würde. Natürlich ist es ein hoffnungsloses Unterfangen, für jede Klasse wirklich einen Vetreter auflisten zu wollen, also müssen wir uns mit einem bescheideneren Ziel zufrieden geben: Uns soll es reichen, alle Gruppen mit höchstens 20 Elementen kennenzulernen, sprich für jede Klasse von Gruppen mit höchstens 20 Elementen einen Vertreter aufzulisten. Man sagt dann, daß wir diese Gruppen "klassifizieren".

Um das Ziel zu erreichen, ist es notwendig, einige klassische Sätze der Gruppentheorie kennenzulernen, wie etwa den Satz von Lagrange oder die Sätze von Sylow. Außerdem werden wir den wichtigen Begriff der "Operation einer Gruppe auf einer Menge" einführen, der in nahezu allen mathematischen Disziplinen eine wichtige Rolle spielt. Und ein besonderes Augenmerk wird der symmetrischen Gruppe sowie schließlich den abelschen und den zyklischen Gruppen gelten.

Einige allgemeine Hinweise:

Für manche wird es das erste Mal sein, daß sie an einem Seminar teilnehmen, andere haben bereits Erfahrungen gesammelt. Mag sein, daß erstere sich an letzteren orientieren, was ihr Verhalten betrifft, so wie diese sich vielleicht an ihren Vorgängern orientiert haben. Das könnte dazu führen, daß das Seminar verläuft wie schon manch anderes, an dem ich teilgenommen habe - nämlich stumm von Seiten der Zuhörer. Das sollte nicht sein. Es ist nicht zu erwarten, daß man dem, was der Vortragende erzählt und anschreibt, stets folgen kann, und dazu sollte man getrost stehen. Weder wirft eine Frage ein schlechtes Licht auf den, der fragt, noch bringt man den, der vorträgt, in Verlegenheit, falls er keine Antwort weiß. Mathematik erfordert Diskussion, und die Seminare sind die Orte, an denen man das Diskutieren, das Sich-Verständigen, über mathematische Inhalte lernen kann. Diese Gelegenheit sollte genutzt werden - und sie ist es ggf. wert, auf Inhalte zu verzichten.

Für die einzelnen Vorträge stehen jeweils 90 Minuten zur Verfügung, die voll genutzt werden können, über die aber nicht hinausgegangen werden sollte. Zu den didaktischen Zielen des Seminars gehört es auch, eine sinnvolle Auswahl an Inhalten zu treffen und den darzubietenden Stoff zu straffen. Der Einsatz eines Overheadprojektors, kann Zeit einsparen, aber man sollte sich stets bewußt sein, daß es für die Zuhörer weit schwerer ist, einem schnellen Ritt über fertige Ergebnisse auf einer Folie zu folgen, als der meist weit langsameren Entwicklung selbiger Resultate an der Tafel. Von daher ist eher davon abzuraten, Beweise in allen Details auf Folien vorzubereiten, während es durchaus sinnvoll sein kann, grobe Raster von Beweisen auf diese Art zu präsentieren oder Ergebnisse, auf die mehrfach zurückgegriffen werden muß, so leicht verfügbar zu machen. Den Ideen und Phantasien für eine gute und ansprechende Präsentation sind sicher keine Grenzen gesetzt, und ich würde diesbezüglich gerne von den Teilnehmern lernen.

Teilnehmer: