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Literatur:

	Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer.
	David Eisenbud, Commutative Algebra with a View towards Algebraic Geometry, Springer.
	Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms., Springer.
	Cox, Little, O'Shea, Using Algebraic Geometry., Springer.

Inhalt:

In den ersten Studienjahren lernt man den Gauß-Algorithmus kennen, das Allheilmittel, um lineare Gleichungssysteme zu lösen oder Invarianten von linearen Abbildungen auszurechnen (Rang, Determinante, charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, etc.). Lineare Gleichungssysteme sind deshalb so interessant, weil sie in unglaublich vielen Anwendungen in ganz natÜrlicher Weise auftreten. Ebenso kommt man ohne ihr abstraktes Äquivalent, die linearen Abbildungen kaum aus, die stets als hilfreiche Approximation an alle möglichen anderen Abbildungen bemÜht werden.

Betrachtet man nun Gleichungen, bei denen die Variablen auch mit höheren Exponenten auftreten dÜrfen, d. h. betrachtet man allgemein polynomiale Gleichungssysteme, dann wird die Frage nach der Lösbarkeit weit schwieriger. Schon in einfÜhrenden Algebra Vorlesungen lernt man, daß es selbst bei nur einer Variablen im Allgemeinen nicht möglich ist, die Lösungsmenge in einfacher Form darzustellen. Aber auch polynomiale Gleichungssysteme spielen in Anwendungen eine Rolle - etwa bei Stabilitätsbetrachtungen von elektrischen Schaltkreisen oder bei der Suche nach sicheren Codes. Es stellt sich also die Frage, wie man ein polynomiales Gleichungssystem "lösen" kann.

Nun, "lösen" kann hier nur bedeuten, es auf ein Art "Zeilenstufenform" zu bringen, die es erlaubt, alle möglichen Invarianten, die von Interesse sind, daran abzulesen -- z. B. die Dimension der Lösungsmenge, die Anzahl der Komponenten, etc. Hierzu werden wir in der Vorlesung eine Verallgemeinerung des Gauß-Algorithmus einfÜhren, der es erlaubt, aus den gegebenen Gleichungen eine "Standardbasis" zu berechnen - diese ist sozusagen das Äquivalent zur Zeilenstufenform.

Inhalt der Vorlesung: (graduierte) Ringe, Ideale, (graduierte) Moduln, Monomordnungen, Standardbasen, Normalformen, Buchberger-Algorithmus, Mora-Algorithmus, Operationen mit Idealen und Moduln (Schnitt, Radikal, Quotienten, Saturierung), Kerne von Abbildungen, Syzygien, Primärzerlegung -- dabei wird jeweils der algorithmische Aspekt der Berechnung der Objekte im Vordergrund stehen.