1. Fehler:

Die Aussage 5.1.3 Teil 4 aus der Vorlesung ist falsch. Es gilt wohl, wenn $f$ ein Isomorphismus ist, dann ist auch $f^t$ ein Isomorphismus - und der Beweis dafür ist auch richtig. Die Umkehrung gilt i. a. jedoch nicht. Insbesondere geht der Beweis nicht analog. Siehe dazu folgendes Beispiel.

Man beachte, daß im Fall, daß $V$ und $W$ endlich-dimensionale $K$-Vektorräume sind, sehr wohl gilt, $f$ ist ein Isomorphismus, genau dann, wenn $f^t$ ein Isomorphismus ist, da dann ja $\rang(f)=\rang(f^t)$.

2. Fehler:

Es steht noch der Beweis der Aussage

$$\im\big(f^t\big)\supseteq \Ker(f)^o$$

aus, wenn $f\in\Hom_K(V,W)$, wobei $V$ und $W$ beliebige $K$-Vektorräume sind.

Sei also $g\in\Ker(f)^o$. Wir suchen ein $h\in W^*$ mit $g=f^t(h)=h\circ f$.

Schritt a.: Wir wählen nun eine Basis $B'=(y_i\;\vert\;i\in I)$ von $\im(f)$ und ergänzen diese zu einer Basis $B=(y_i,z_j\;\vert\;i\in I,j\in J)$ von $W$. Sodann wählen wir zu jedem $y_i$, $i\in I$, ein $x_i\in f^{-1}(y_i)$, und definieren eine $K$-lineare Abbildung $h\in\Hom_K(W,K)=W^*$ durch

$$h:W\rightarrow K:\left\{ \begin{array}[m]{ll} y_i\mapsto g(x_i)\in K,&i\in I,\\ z_j\mapsto 0\in K,& j\in J. \end{array}\right.$$

Schritt b.: Wir zeigen nun, daß $f^t(h)=g$.
Sei dazu $x\in V$. Dann gibt es $\lambda_i\in K$, $i\in I$, mit $f(x)=\sum_{i\in I}'\lambda_i y_i$. Dann gilt aber für $x':=\sum_{i\in I}\lambda_i x_i$,

$$f\big(x'\big)={\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i f(x_i)={\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i y_i=f(x),$$

und damit $f\big(x-x'\big)=f(x)-f\big(x'\big)=0$, d. h.  $x-x'\in\Ker(f)$. Also gilt:

$$0=\big\langle g,x-x'\big\rangle=g(x)-g\big(x'\big),$$

und damit

$$g(x)=g\big(x'\big)={\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i g(x_i)={\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i h(y_i)= {\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i h\big(f(x_i)\big)$$

$$=h\left(f\bigg({\sum_{i\in I}\:}'\lambda_i x_i\bigg)\right)=h\Big(f\big(x'\big)\Big)=h\big(f(x)\big)=f^t(h)(x).$$

Also ist $f^t(h)=g$.