Vorträge in der Woche 04.07.2016 bis 10.07.2016

Montag, 04.07.2016: The Adiabatic Limit of the Connection Laplacian with Applications to Quantum Waveguides

Stefan Haag

Im ersten Teil des Vortrags werden Schrödiger-Operatoren mit Dirichlet-Randbedingungen auf einem hermiteschen Vektorbündel über einer dünnen Mannigfaltigkeit untersucht. Der kinetische Anteil innerhalb des Operators besteht aus dem Zusammenhangs-Laplace-Operator bezüglich eines metrischen Zusammenhangs auf dem Vektorbündel. Die Eigenschaft der Basismannigfaltigkeit dünn zu sein wird dadurch modelliert, dass man sie selbst mit der Struktur eines Faserbündels ausstattet und seine kompakten Fasern (vertikale Richtungen) klein skaliert im Vergleich zu den orthogonalen (horizontalen) Richtungen. Eine dünne Röhre ist ein typisches Beispiel für solch eine dünne Mannigfaltigkeit. Es wird nun aufgezeigt, wie man eine Komplexitätsreduktion für den Schrödinger-Operator durchführen kann, indem man ausnutzt, dass der Einfluss der vergleichsweise kleinen vertikalen Richtungen vernachlässigt werden kann. Genauer gesagt wird die Herleitung eines effektiven Operators erläutert, welcher lediglich auf einem Vektorbündel über den horizontalen Richtungen wirkt und wesentliche Eigenschaften des vollen Operators wie die erzeugte Dynamik oder das Spektrum approximiert. Der zweite Teil des Vortrags beschäftigt sich mit der Anwendung der abstrakten Resultate auf Quantenwellenleiter in Anwesenheit von Magnetfeldern. Unter Quantenwellenleitern versteht man die Analyse von Laplace-Operatoren in dünnen Tubenumgebungen um Untermannigfaltigkeiten eines höherdimensionalen euklidischen Raums. Die Zulassung von beliebigen metrischen Zusammenhängen im abstrakten Teil erlaubt es uns nun, beliebige magnetische Potentiale minimal an das Teilchen zu koppeln. Darüber hinaus können dank der zusätzlichen Vektorbündelstruktur auch Spin behaftete Teilchen untersucht werden. Schließlich werden für einige geometrische Konfigurationen effektive Operatoren für die Fälle von schwachen und starken Magnetfeldern hergeleitet.

Dienstag, 05.07.2016: Using sparse-grid collocation methods to solve the vibrational Schroedinger equation

Tucker Carrington (Queen’s University Kingston, Ontario)

Dienstag, 05.07.2016: Implementation of a novel projector-splitting integrator for the MCTDH method of molecular quantum dynamics

Benedikt Kloß (Universität Frankfurt)

Mittwoch, 06.07.2016: Partial Differential Equations in Geometry

Prof. Dr. Simon Brendle (Stanford University und Columbia University)

A central theme in geometry is the study of manifolds and their curvature. In this lecture series, we will discuss how techniques involving partial differential equations have shed light on several longstanding problems in global differential geometry. In particular, we will focus on the geometry of hypersurfaces, and discuss the isoperimetric inequalities, Alexandrov’s theorem on embedded surfaces in R n of constant mean curvature, as well as our proof of Lawson’s 1969 conjecture concerning embedded minimal tori in S 3 . Time permitting, I will discuss some recent results on the classification of self-similar solutions to geometric flows.

Donnerstag, 07.07.2016: Stochastic thermostats and geometric integrators for rigid body dynamics

Mikhail Tretyakov (University of Nottingham)

We introduce two thermostats, one of Langevin type and one of gradient (Brownian) type, for rigid body dynamics. We construct, test and compare geometric integrators for these thermostats. The talk will be mainly based on a joint work with Ruslan Davidchack and Tom Ouldridge.

Donnerstag, 07.07.2016: Existence and regularity theories of Brakke flow

Prof. Yoshihiro Tonegawa (Tokyo Institute of Technology)

Donnerstag, 07.07.2016: Hardy Ungleichungen und blow up

Abdelaziz Rhandi (Salerno)

Freitag, 08.07.2016: Limit theorems for random compositions and related structures

Prof. Dr. Alexander Marynych (Universität Münster und National University of Kiev)

We consider random compositions that satisfy certain properties of consistency and self-similarity. We show how such compositions appear in the analysis of random allocation schemes and outline relationships with other models from applied probability: random permutations, Karlin occupancy schemes, the Ewens sampling formula, coalescents with multiple collisions etc. The main emphasis in the talk will be put on the asymptotic properties of these compositions for large n, namely various types of limit theorems for the functionals acting on them.