Vorträge in der Woche 13.06.2016 bis 19.06.2016

Montag, 13.06.2016: Time-dependent BCS equations near Tc: A numerical study

Jonathan Seyrich

Der Vortrag stellt einen Teil der kumulativen Dissertation ’Numerical Integrators for Physical Applications’ vor, der sich mit den zeitabhängigen BCS-Gleichungen beschäftigt hat. Diese, auch unter dem Namen Bogoliubov–de-Gennes bekannten, partiellen Differentialgleichungen basieren auf der mikroskopischen Beschreibung des Phänomens der Supraleitung durch Bardeen, Cooper und Schrieffer (BCS). Sie beschreiben das zeitliche Verhalten der Teilchendichte und der Cooper-Paar-Dichte in supraleitenden Fermionensystemen. In Regimen nahe der kritischen Temperatur können stationäre supraleitende Systeme in zufriedenstellender Weise durch die makroskopische Theorie von Ginzburg und Landau beschrieben werden. Eine noch offene und in der theoretischen Physik kontrovers diskutierte Frage war, ob auch das zeitliche Verhalten von makroskopischen Fermionensystemen nahe der kritischen Temperatur durch eine zeitabhängige Ginzburg–Landau-Gleichung beschrieben werden kann. Eine notwendige Bedingung hierfür wäre, dass die zeitabhängige BCS-Gleichung für die Cooper-Paar-Dichte und ihre Linearisierung das gleiche Verhalten zeigen. In der vorgestellten Arbeit wurde diese Frage für translationsinvariante Systeme mit Kontaktwechselwirkungen durch numerische Studien untersucht. Hierzu wurden die BCS-Gleichungen im Raum diskretisiert und zwei numerische Verfahren zur Lösung des resultierenden Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen entwickelt. Eines dieser Verfahren wird im Vortrag vorgestellt. Mithilfe der entwickelten Verfahren wurden Langzeitstudien der durch die BCS-Gleichungen und durch die Linearisierung beschriebenen Zeitentwicklungen durchgeführt. Hierbei konnten deutliche Unterschiede im zeitlichen Verhalten des makroskopischen Ordnungsparameters gezeigt werden: Nur die linearisierte BCSGleichung zeigt ein dissipatives Verhalten, wie es für eine zeitabhängige Ginzburg–Landau-Gleichung zu erwarten wäre; für die vollen BCS-Gleichungen oszilliert der makroskopische Ordnungsparameter hingegen um einen endlichen Wert.

Montag, 13.06.2016: Gromov hyperbolicity and locally compact groups

Yves Cornulier (Paris)

Dienstag, 14.06.2016: Stochastic Control of Magnetization Dynamics

Thomas Dunst

In meinem Vortrag stelle ich unterschiedliche Problemstellungen und numerische Verfahren vor, die sich mit der Kontrolle ferromagentischer Spins befassen. Die Dynamik eines Ensembles ferromagnetischer Spins bei thermischen Fluktuationen wird hierbei durch die stochastische Landau-Lifshitz- Gilbert-Gleichung (SLLG) beschrieben. Besteht das Ensemble aus unendlich vielen Spins, ist die SLLG eine nichtlineare stochastische partielle Differentialgleichung deren Lösungen Werte auf der Einheitssphäre annehmen (Sphärenbedingung). Der erste Teil des Vortrages behandelt das Konvergenzverhalten einer auf dem Mittelpunktverfahren basierenden Zeitdiskretisierung der SLLG, welche die Sphärenbedingung erhält. Für diese Zeitdiskretisierung wird der Nachweis der Ratenkonvergenz in Wahrscheinlichkeit mit Ordnung 1/2 motiviert. Zu den Hauptschwierigkeiten, die zu überwinden sind, gehören sowohl die analytische, als auch die numerische Behandlung der Nichtlinearitäten, sowie des stochastischen Integralterms. Durchgeführte Simulationen unterstützen die nachgewiesene Konvergenzordnung. Der zweite Teil des Vortrages beschäftigt sich mit der optimalen Kontrolle der Dynamik einer fixierten Anzahl ferromagnetischer Partikel bei erhöhten Temperaturen. Das stochastische optimale Steuerungsproblem sucht nach einem minimalen Wert des Kostenfunktionals unter der Vorgabe der SLLG. Das zugehörige Optimalitätssystem beinhaltet neben der SLLG eine rückwärtige SDE, sowie Pontryagin’s Maximumsbedingung. Mithilfe einer strukturerhaltenden Diskretisierung, der least squares Monte-Carlo method, sowie dem neuen stochastischen Gradientenverfahren wird das Problem numerisch gelöst.

Freitag, 17.06.2016: Continuous-time stochastic approximation in Hilbert spaces

Martin Ondreját (UTIA Prague, Czech Republic)

Stochastic approximation is a class of recursive procedures designated for finding roots or extremes of functions whose values are observed with a random error. In the sixties of the last century, M. B. Nevelson and R. Z. Khasminskii studied a continuous-time version of the stochastic approximation algorithm, using stochastic differential equations. We shall show how their approach may be extended to an infinite-dimensional setting. Basic ideas of the stochastic approximation methods will be explained and the extension to Hilbert spaces will be treated. The talk is based on a work of J. Seidler and F. Zak.