Proseminar Schnittstellen zwischen klassischer und moderner Mathematik

Im Seminar werden wir uns mit verschiedenen Themen der Mathematik des griechischen Altertums bschäftigen. Der Fokus liegt hierbei auf dem Einfluss der griechischen Mathematik auf die moderne Mathematik, insbesondere ausgewählte Bereiche der Analysis, Algebra und Geometrie. Dazu wird es drei Blöcke von Vorträgen geben.

Im ersten Block beschäftigen wir uns mit Proportionenlehre. Griechische Mathematik war in vielen bereichen relativistisch, d.h. man verglich Längen bzw. Längenverhältnisse miteinander und beschäftigte sich weniger mit absoluten Größen. Es ist den Griechen gelungen, zu beweisen, dass ganzzahlige Verhältnisse nicht ausriechen, um alle denkbaren Streckenverhältnisse zu beschreiben. Wenn man für die Streckenverhältnisse einen Zahlbegriff einführt, reichen also rationale Zahlen nicht aus. um über das Kontinuum zu sprechen, welches alle denkbaren Verhältnisse entspricht, ist ein greifbar machen von Unendlichkeit von Nöten. Dies ist bereits aus den ersten Analysisvorlesungen bekannt: Ein Verständnis der reellen Zahlen benötigt die Einführung von Folgen und einen Konvergenzbegriff oder ähnliches. Wie es den griechen gelang, die Unendlichkeit greifbar zu machen und einen geeigneten Proportionenbegriff zu finden, wird ein Kernthema des ersten Blocks sein. Wir befinden uns hier an einem Berührpunkt zur modernen Analysis, die erst jahrhunderte später kam.

Im zweiten Block werden wir die klassischen Unmöglichkeitsbeweise betrachten. Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mittels Lineal und Zirkel ist heir das bekannteste Beispiel. Ein Beweis der Unmöglichkeit dieser Konstruktionen gelang erst Jahrhunderte nach dem Auftauchen dieser Fragen und gelang mit Methoden der Algebra. Dies Schnittstelle zwischen Geometrischer Frage und deren algebraischer Formulierung und Beweistechnik ist besonders interessant und Thema des zweiten Blocks.

Im dritten Block werden wir uns mit der Axiomatisierung der Geometrie nach Euklid beschäftigen. Besonderes Augenmerk hatte bereits immer das Parallelenaxiom, welches komplexer und weniger elementar erscheint als die anderen Axiome der euklidischen Geometrie. Man versuchte deshalb, das Parallelenaxiom aus den anderen herzuleiten. Dass dieser Versuch scheitern muss wurde erst viel später verstanden, als ein Beispile einer Geometrie angegeben wurde, in der alle Axiome Euklids wahr sind, das Parallelenaxiom jedoch nicht gültig ist. Mit den verschiedenen Geometrien die man ohne Parallelenaiom erhält beschäftigen wir uns im dritten Block.

Termin: Das Seminar findet, je nach Gruppe, Montags und Dienstags von 16:15 bis 18:00 statt. Sollte es die Pandemiesituation zulassen wird das Seminar in Präsenz Montags im Raum D4A19 (D-Bau [Physik]) und Dienstags im Raum C9G09 (C-Bau [Mathematik]) stattfinden.

Die ersten Vorträge sind am 25. April 2022 bzw. am 26. April 2022.

Anmeldung: Wir bitten alle Teilnehmer, sich im Laufe des Semesters über Alma anzumelden.

Vorträge: Die Vorträge in Block 1 werden von Manuela Feistl, die Vorträge in Block 2 von Umut Özcan, die Vorträge in Block 3 von Peter Pickl betreut. Bitte melden Sie sich rechtzeitig vorher zur Terminabsprache für die Vorbesprechungen. Die Vorträge finden an folgenden Terminen statt:

Block 1
1. Kommensurabilität (25.4. und 26.4.)
2. Euklidischer Algorithmus (2.5. und 3.5.)
3. Beweis der Inkommensurabilität am Pentagramm (9.5. und 10.5.)
4. Proportionenlehre nach Eudoxos, Strahlensatz (16.5. und 17.5.)
5. Antiker und moderner Zahlbegriff (23.5. und 24.5.)
Block 2
6. Körpererweiterungen, Unterkörper von R. (30.5. und 31.5.)
7. Der Körper der konstruierbaren Zahlen (13.6. und 14.6.)
8. Unmöglichkeitsbeweise (20.6. und 21.6.)
9. Existenz einer Transzendenten Zahl (27.6. und 28.6.)
Block 3
10. Axiomatische Formulierung der euklidischen Geometrie (4.7. und 5.7.)
11. Das Parallelenaxiom (11.7. und 12.7.)
12. Elliptische Geometrie (18.7. und 19.7.)
13. Hyperbolische Geometrie (25.7. und 26.7.)