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Differentialgeometrie
Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Donnerstag, 16. Oktober 2014
Zeit: Donnerstag und Freitag, je 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr;
Ort: Hörsaal N14 (M1)
Ankündigung
Beschreibung
Die Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Phänomene und Strukturen der Differentialgeometrie, insbesondere zu
- Kurven: Krümmung, Torsion, Normalformen
- Hyperflächen: Tangentialbündel, Erste und zweite Fundamentalform, mittlere Krümmung, Gauss-Krümmung, Minimalflächen, Fundamentalsatz der Flächentheorie, Gauss-Bonnet
- Riemannschen Mannigfaltigkeiten: Geodäten, Normalkoordinaten, kovariante Ableitung, Zusammenhänge, Paralleltransport, Riemann- und Ricci-Krümmung.
Im Sommersemester 2015 werden sich voraussichtlich eine 4-stündige Vorlesung über "Mathematische Aspekte der Allgemeinen Relativitätstheorie" sowie eine 2-stündige Vorlesung über weitere Phänomene und Strukturen der Differentialgeometrie ("Analysis auf Vektorbündeln") anschließen.
Voraussetzungen
- Analysis 1-2
- Lineare Algebra 1-2
Literatur (Beispiele)
- C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter Lehrbuch.
- M. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Studium
- M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
- M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. I-V, Publish or Perish.
- S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer.
Modulhandbuch
Modulcode: 3215
ECTS Punkte: 10
Prüfungsgebiet: Reine Mathematik
Studien- und Prüfungsleistungen
Übungsschein als Prüfungsvoraussetzung, Prüfungsleistung schriftlich (90 Minuten), als Klausur am 13. Februar 2015, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr im N14 (M1).
Übungsgruppen und Übungen
- Niklas Kulke, Dienstag 16-18 Uhr, S6
- Christopher Nerz, Mittwoch 16-18 Uhr, D4A19
Fixpunktsätze (Proseminar, Blockveranstaltung)
Dozentin: Dr. Carla Cederbaum
Assistentin: Sophia Jahns
Zeit: 2.-5. März 2015 (Blockveranstaltung)
Ort: Freudenstadt
Vorbesprechung: 17. Juli 2014, 13:15 im N15 (M2). Ersatzweise per e-Mail an die Dozentinnen unter Angabe von Fachsemesteranzahl, Studiengang und bereits besuchten Veranstaltungen.
Scheinkriterium: Vortrag (60-75 Minuten) mit vorheriger Absprache mit den Dozentinnen sowie ein Handout (1-2 Seiten, DinA4, LaTeX)
Ankündigung
Beschreibung
Ein Fixpunkt p
einer Abbildung f:X→X ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird, also f(p)=p erfüllt. Entsprechend ist ein Fixpunktsatz ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen an die Abbildung f (und den Raum X
) die Existenz eines Fixpunktes garantiert.
Im ersten Teil des Proseminars werden wir uns mit dem Banachschen Fixpunktsatz befassen. Als seine wichtigste Anwendung werden wir den Satz von Picard-Lindelöf kennenlernen, der eine Aussage über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen macht.
Der zweite Teil des Proseminars beschäftigt sich mit dem Brouwerschen Fixpunktsatz, für den wir zwei unterschiedliche Beweise kennenlernen werden.
Die Vorträge werden durch eine praktische Übung ergänzt.
Voraussetzungen
- Lineare Algebra 1 und 2
- Analysis 1
Unterlagen zum Proseminar
- Literatur und Vortragseinteilung [pdf]
- Illustration des Banachschen Fixpunktsatzes anhand von Landkarten [pdf]
- Anleitung zur Vorbereitung [pdf,tex]
- Feedbackbogen [pdf,tex]
Oberseminar
- 16.10.2014, Helmut Kaul, Ein Energie minimalisierender Fluss
- 30.10.2014, Katharina Radermacher, Strong Cosmic Censorship in orthogonalen Bianchi B-Modellen mit perfekter Flüssigkeit und Vakuum
- 13.11.2014, Christopher Nerz, Asymptotische Flachheit als geometrische Eigenschaft
- 20.11.2014, Theodora Bourni, "Null mean curvature" flow and marginally outer trapped surfaces
- 27.11.2014, Felix Schulze, A local regularity theorem for mean curvature flow with triple edges
- 27.11.2014, Carla Cederbaum, Photonensphären in statischen Raumzeiten (16:15-18:00 Uhr, M3/N16)
- 04.12.2014, Niklas Kulke, Das Dirichletproblem für den mittleren Krümmungsfluss (16:15-18:00 Uhr, M3/N16)
- 11.12.2014, Mat Langford, Contraction of hypersurfaces by curvature in spaceforms
- 18.12.2014, Ye-Sle Cha, Mass-Angular momentum-Charge inequality in General Relativity (16:15-18:00 Uhr, M3/N16)
- 19.12.2014, Jan Metzger, Surfaces minimizing the Willmore energy for small prescribed area (Fr, 14:15-16:00 Uhr, M3/N16)
- 08.01.2015, Maximilian Thaller, Spherically Symmetric, Static Solutions of the Einstein-Vlasov System with Non-Vanishing Cosmological Constant
- 15.01.2015, David Fajman, The Einstein-flow on the 2-sphere
- 22.01.2015: Huy Nguyen, An Energy Identity for Sequences of Immersions
- 22.02.2015: Lorenzo Mazzieri, Some rigidity results for static metrics