Wintersemester 2017/18
Vortragsreihe - Ricci flow in higher dimensions
Dozent: Prof. Dr. Simon Brendle
Datum | Zeit | Ort |
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Mittwoch, 13.12.2017 | 16 c.t. - 18 Uhr | N9 |
Freitag, 15.12.2017 | 15 c.t. - 17 Uhr | H2C14 |
Mittwoch, 10.01.2018 | 10 c.t. - 12 Uhr | H2C14 |
Beschreibung
Hamilton's Ricci flow is one of the most important geometric evolution equations.
In these lectures, I will focus on the problem of singularity formation in higher dimensions. In particular, I will discuss under what conditions the flow converges to a round metric after rescaling, and under what conditions the flow will form singularities of neck-pinch type. This requires new pinching estimates for the curvature ODE in higher dimensions.
Der Minimalflächenoperator
Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Freitag, den 20. Oktober 2017
Ort: Hörsaal N08
Zeit: Freitags, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr
Beschreibung
Die Vorlesung untersucht zunächst Randwertprobleme für den Minimalflächenoperator, insbesondere Minimalflächen und Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung, im Kontext quasilinearer elliptischer partieller Differentialgleichungen. Danach wenden wir diese Techniken an, um zunächst translatierende Lösungen geometrischer Evolutionsgleichungen zu konstruieren. Hiermit können dann schliesslich allgemeine schwache Lösungen des Flusses von Hyperflächen entlang der mittleren und entlang der inversen mittleren Krümmung konstruiert werden.
Voraussetzungen
Grundlagen in partiellen Differentialgleichungen und Differentialgeometrie im Umfang von je einer Vorlesung.
Literatur
- D. Gilbarg; N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 3rd ed 1998.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. - K. Ecker, Regularity theory of mean curvature flows, Birkhäuser Verlag Basel, 2004.
- S. Brendle, Ricci Flow and the Sphere Theorem (Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, 2010.
- G. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific, 1996.
D. Kinderlehrer; G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, SIAM, 2000.
Modulhandbuch
Modulcode: MAT - 60 - 15 (Masterstudenten)
Prüfungsgebiet: Reine Mathematik
Studien- und Prüfungsleistungen
Je nach Größe der Veranstaltung gibt es eine Klausur oder mündliche Prüfung.
Eindimensionale Variationsrechnung
Dozentinnen: JProf. Dr. Carla Cederbaum, Sophia Jahns
Zeit: 7.-8. Oktober und 21.-22. Oktober 2017, ganztags
Beschreibung
In der eindimensionalen Variationsrechnung werden Ideen aus der Analysis 1 mithilfer von Techniken aus der Analysis 2 sowie der Linearen Algebra auf sogenannte Funktionale übertragen. Funktionale sind (in diesem Seminar) Funktionen von einem reellen Funktionenraum in die reellen Zahlen. Ein wichtiges Beispiel ist das Längenfunktional, das jeder differenzierbaren Kurve (etwa in R^n) oder auf einer Fläche) ihre Länge zuordnet. Hier mann man mithilfe der Variationsrechnung die Frage beantworten, was die kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten ist.
Weitere klassische Probleme und Sätze, die wir im Seminar kennenlernen werden, sind:
- das isoperimetrische Problem, also die Frage danach, wie eine Kurve vorgegebener Länge verlaufen muss, um ein Gebiet mit moeglichst grossem Flächeninhalt einzuschliessen.
- das Fermatsche Prinzip, das den Weg von Licht in einem Medium beschreibt,
- die Frage nach der Oberfläche von Rotationsflächen mit minimalen Flächeninhalt
- sowie weitere geometrische und physikalische Probleme.
Wir werden im Seminar von diesen konkreten Problemstellungen ausgehen und uns die zu ihrer Lösung nötigen Techniken aus der Variationsrechnung und der Funktionalanalysis erarbeiten.
Voraussetzungen
Lineare Algebra 1+2, Analysis 1+2 und Grundlagen der (eindimensionalen) Lebesgue-Integration (aus Analysis 3 oder Stochastik 1, diese Grundlagen der Lebesgue-Integration können aber auch im Vorfeld im Selbststudium erarbeitet werden).
Literatur
- Buttazo, G.; Giaquinta, M.; und Hildebrandt, S; One-dimensional Variational Problems, Oxford University Press, 1998
- Weinstock, R.; Calculus of Variations. With applications to physics and engineering, Dover Publications, 1952
Elementare Differentialgeometrie zum Anfassen
Dozentinnen: JProf. Dr. Carla Cederbaum, Lisa Hilken
Beginn: Mittwoch, 25. Oktober 2017
Zeit: Mittwochs, 14 Uhr c.t. bis 18 Uhr, 14-täglich
Beschreibung
Vorraussetzungen
Lineare Algebra 1+2 und Analysis 1+2
Literatur
- Abbott, Edwin A., Flatland, Oxford University Press
- Henderson, David W., Differential Geometry, online
- do Carmo, Manfredo P., Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg+Teubner
- Bär, Christian, Elementare Differentialgeometrie, De Gruyter
Bemerkungen
Spectral Methods
Dozent: Dr. Leon Escobar
Beginn: Mittwoch, den 18. Oktober 2017
Ort: Hörsaal N16
Zeit: Mittwoch, 16-18 Uhr
Beschreibung
Spectral methods are powerful mathematical techniques used for the solution of partial differentialequations. Unlike the local approaches, as the finite difference methods or finite elements, spectral
methods are global methods where the computation at any given point depends not only on
information at neighboring points, but on information from the entire domain. A remarkable fact is
that under suitable conditions, spectral methods converge exponentially, which makes them more
accurate than local methods. In this course, we will give an introduction to this kind of methods
laying special emphasis on their practical implementation to the solution of partial differential
equations from the field of the mathematical physics.
Vorraussetzungen
Basic knowledge on partial differential equations, numerical methods and some programming
language, preferable MATLAB.
Literatur
L. N. Trefethen Spectral methods in MATLAB, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000.
J. S. Hesthaven; S. Gottlieb; D. Gottlied, Spectral methods for time-dependent problems, vol.~21, Cambridge University Press, 2007.
Studien- und Prüfungsleistungen
There will be an individual assignment which will be worth half of the final mark. The other half
will be determined by an oral exam.