SoSe 2015
Allgemeine Relativitätstheorie
Dozenten: Prof. Dr. Gerhard Huisken, Dr. Carla Cederbaum
Zeit: Mittwoch, 16 Uhr c.t. bis 18 Uhr
Freitag, 10 Uhr c.t. bis 11:45 Uhr
Ort: Hörsaal N16 (M3)
Beschreibung
Nach einer Einführung in die spezielle Relativitätstheorie und die ihr zugrunde liegende Geometrie der Minkowski-Raumzeit werden wir uns mit allgemeinen Lorentz-Mannigfaltigkeiten und den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie befassen. Ein Teil der Vorlesung (Cederbaum, Mittwochs) wird sich auf statische (unbewegte) Lösungen der Einstein-Gleichungen konzentrieren. Diese haben eine besonders einfache geometrische Struktur und eignen sich für einen ersten Kontakt mit geometrischen, analytischen und physikalischen Fragen über Raumzeiten und isolierte Systeme. Der andere Teil der Vorlesung (Huisken, Freitags) wird untersuchen, mit welchen geometrischen und analytischen Strukturen man in allgemeineren Raumzeiten, die entweder bei kosmologischen Modellen oder bei der Beschreibung von isolierten Phänomenen wie Sternen, schwarzen Löchern oder von Gravitationswellen auftreten, klassische physikalische Konzepte innerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben kann.
Voraussetzungen
- Analysis 1-3
- Lineare Algebra 1-2
- Differentialgeometrie
- optional, aber hilfreich: Elliptische Differentialgleichungen
Literatur (Beispiele)
- R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press (1984)
- H. Fischer und H. Kaul, Mathematik für Physiker, Band 3, Springer Spektrum, 3.~Auflage (2013)
- B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Press, Mathematics 103
- S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (1973)
- S. Axler, P. Bourdon and W. Ramey, Harmonic Function Theory, Springer, New York, Graduate Texts in Mathematics (1992)
- C. Cederbaum, The Newtonian Limit of Geometrostatics, FU Berlin (2012)
Modulhandbuch
Modulcode: 2315
ECTS Punkte: 10
Prüfungsgebiet: Reine und Angewandte Mathematik
Studien- und Prüfungsleistungen
Übungsschein als Prüfungsvoraussetzung, Prüfungsleistung je nach Teilnehmerzahl schriftlich oder mündlich.
Übungsgruppen und Übungen
Sophia Jahns, Dienstag, 16-18 Uhr, S9. Sprechstunde nach Vereinbarung. E-Mail senden
Übungsblätter sind im ILIAS zu finden.
Analysis auf Vektorbündeln
Dozent: Dr. Christopher Nerz
Zeit: Mittwoch, 14:15-16:00
Raum: Hörsaal N8
Beschreibung
Die Vorlesung richtet sich an Hörer der Differentialgeometrie des WiSe 2014/15 oder einer äquivalenten Vorlesung und gibt eine Einführung in die Vektorbündel- und Hodge-Theorie. Insbesondere sollen behandelt werden:
- Vektorbündel: Einführung, Kovariante Ableitung, Holonomie, Paralleltransport, Riemann-Krümmung, äußere Ableitung
- Hodge-Theorie: Einführung, Poincaré-Dualität
Motivation: Aus der Differentialgeometrie Vorlesung ist bekannt, dass für jeden Punkt p∈M
einer glatten Mannigfaltigkeit M der Tangentialraum TpM existiert. Dieser ist ein Vektorraum, der "glatt vom Punkt p∈M" abhängt. Das Tangentialbündel TM ist nun die Menge all dieser Tangentialräume, d.h. TM:=⋃p˙TpM. Wir können dieses als eine "Zuordnung" verstehen, die jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit M den Vektorraum TpM zuordnet. Man kann nun zeigen, dass dieses Bündel mit einer kanonischen Mannigfaltigkeitsstruktur versehen werden kann, selbst also eine Mannigfaltigkeit ist. Bezüglich dieser Mannigfaltigkeitsstruktur stellt sich die Abbildung π:TM→M als glatt heraus, wobei π durch π−1(p)=TpM charakterisiert ist -- dies erklärt die oben erwähnte "glatte Abhängigkeit" des Vektorraums TpM vom Punkt p∈M
.
Analog können wir andere Bündel E→M
konstruieren, d.h. Mannigfaltigkeiten, die in vergleichbarer Weise als "Zuordnungen" verstanden werden können, die jedem Punkt p∈M der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit M in glatter Weise einen Vektorraum Ep⊆E zuordnet, wobei E gerade die Vereinigung dieser Vektorräume ist, d.h. E=⋃p˙Ep
. Wir werden sehen, dass wir einige dieser Bündel bereits aus der Differentialgeometrie Vorlesungen kennen und bereits verwendet haben (Stichworte: Metrik, erste und zweite Fundamentalform, Krümmungstensor, ...).
Da diese Bündel wiederum Mannigfaltigkeiten sind, werden wir auch dort kovariante Ableitungen betrachten, wie wir es bereits auf Mannigfaltigkeiten gemacht haben (Stichwort Christoffelsymbole).
Voraussetzungen
- Analysis 1-2
- Lineare Algebra 1-2
- Differentialgeometrie (oder eine andere einführende Veranstaltung zur Differentialgeometrie)
Hinweis
Es wird von den Studenten die Bereitschaft erwartet, sich während des Semesters weiteres, kleines Grundwissen selbst zu erarbeiten (Stichworte: Grundlagen der Topologie sowie Multilineare Abbildungen, Tensor-/Wedge-Produkt und ähnliche Konstruktionen der linearen Algebra) -- natürlich unter rechtzeitiger Angabe geeigneter Literatur.
Literatur (Beispiele)
- John M. Lee, Introduction to smooth manifolds (insb. Kap. 5 und 11-12)
- John M. Lee, Manifolds and Differential Geometry (insb. Kap. 6-8 und 10)
- Christopher Nerz, Skriptum: Einführung in die Differentialgeometrie (insb. Kap. IV-V und VIII-X sowie Anh. B)
Modulhandbuch
Modulcode: 3255
ECTS Punkte: 4
Prüfungsgebiet: Reine Mathematik
Studien- und Prüfungsgebiet
Es werden schriftliche Übungsaufgaben angeboten, deren Abgabe nicht Zulassungskriterium für die Prüfungsleistung sind, aber deren Bearbeitung dringend empfohlen wird. Am Semesterende wird eine (voraussichtlich mündliche) Prüfung stattfinden.
Oberseminar
- 19.03.2015, Simon Brendle, Embedded self-similar solutions to mean curvature flow of genus 0, Raum C9A03
- 23.04.2015, Christopher Nerz, Konstruktion kanonischer Koordinaten mit vorgegebener Asymptotik
- 07.05.2015, Carla Cederbaum, Photonensphären und das statische n-Körperproblem
- 07.05.2015, Stoytcho Yazadjiev, Uniqueness of Einstein-Maxwell spacetimes with a photon sphere (15:45 Uhr)
- 13.05.2015, Carlo Sinestrari, Volumenerhaltender Fluss von Flächen entlang Potenzen der mittleren Krümmung (Freitag)
- 22.05.2015: Domenico Giulini, Black holes in cosmological spacetimes (Freitag)
- 15.06.2015: Felix Dietrich, Optimaler Transport als Beweismethode für geometrische Ungleichungen