Seminar p-adische Analysis und ihre algebraischen Anwendungen

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Inhalt

Zunächst lernen wir die p-adischen Zahlen als vollständigen bewerteten Körper mit dem Bewertungsring der p-adischen ganzen Zahlen kennen. Anschließend werden wir einen geeigneten Erweiterungskörper der p-adischen Zahlen verwenden, um p-adische Analysis zu betreiben und insbesondere p-adische Potenzreihen zu untersuchen. Schließlich nutzen wir p-adische Methoden für das Zählen von Lösungen polynomialer Gleichungen über endlichen Körpern. Als zentrales Resultat erhalten wir dabei die Rationalität der Zetafunktion, die von Bernard Dwork mit p-adischen Methoden als erste der Weil-Vermutungen bewiesen wurde.

Der Aufbau des Seminars folgt dabei dem Buch:

Neal Koblitz: p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. 2. Auflage, Grad. Texts Math., vol. 58, 1984.

Es wurde ein ILIAS-Kurs zum Seminar eingerichtet. Für den Zugang melden Sie sich bitte bei Martin Bohnert.

Ergänzende Literatur

• Bernard Dwork, Giovanni Gerotto, and Francis J. Sullivan: An introduction to G-functions. Ann. Math.
  Stud., vol. 133, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
• Bernard Dwork: On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. Am. J. Math. 82 (1960),
  631-648.
• Fernando Q. Gouvêa: p-adic numbers. An introduction. Universitext, Berlin: Springer-Verlag, 1993.
• Svetlana Katok: p-adic analysis compared with real. Stud. Math. Libr., vol. 37, Providence, RI: American
  Mathematical Society (AMS), 2007.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Berlin: Springer-Verlag, 2007.
• Alain M. Robert: A course in p-adic analysis. Grad. Texts Math., vol. 198, New York, NY: Springer, 2000.